本文整理了概率论中常用的运算规则、重要推导公式及特殊事件的概率关系，涵盖了条件概率、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等核心内容，并对互斥事件、独立事件和条件独立事件进行了分类总结。
一、条件概率与运算规则
1. 条件概率定义
条件概率是概率论的核心定义之一：
P(A \mid B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 02. 加法公式（并集概率公式）
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
即：
P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)
二、重要推导公式
1. 乘法公式
P(A \cap B) = P(B)\, P(A \mid B) = P(A)\, P(B \mid A)
2. 边缘概率公式（全概率公式）
P(A) = \sum_i P(A \cap B_i) = \sum_i P(A \mid B_i) \, P(B_i)
2. 贝叶斯公式
P(B_i \mid A) = \frac{P(A \cap B_i)}{P(A)} =\frac{P(A \mid B_i) \, P(B_i)}{P(A)} = \frac{P(A \mid B_i \, P(B_i)}{\sum_j P(A \mid B_j) \, P(B_j)}即：
P(B_i \mid A) \, P(A) = P(A \mid B_i) \, P(B_i)
三、特殊事件公式
1. 互斥事件
P(A \cap B) = 0
即：
P(A \cup B) = P(A) + P(B)\\ P(A \mid B) = 0
2. 独立事件
P(A \cap B) = P(A)\, P(B)
即：
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\, P(B)\\ P(A \mid B) = P(A)
3. 条件独立事件
P(A \cap B \mid C) = P(A \mid C) \, P(B \mid C)
四、公式之间的关系
- 条件概率定义推导出乘法公式；
- 边缘概率公式（全概率公式） 是对乘法公式的应用；
- 贝叶斯公式 是条件概率 + 全概率公式的结合；
- 特殊事件（互斥、独立、条件独立）是上述公式的特例或约束情况。
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