本文整理了常见的矩阵运算及几类重要的特殊矩阵，并给出对应的数学表达式与 NumPy 实现方法。
一、矩阵运算
1. 标量乘法（Scalar Multiplication）
标量乘法是指将矩阵中的每个元素乘以一个标量。
c A = c \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
c a_{11} & c a_{12} \\
c a_{21} & c a_{22}
\end{bmatrix}即：
c * A2. Hadamard 乘积（Element-wise Product）
Hadamard 乘积是矩阵对应元素相乘，要求矩阵大小一致。
A \circ B = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\circ
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{12}b_{12} \\
a_{21}b_{21} & a_{22}b_{22}
\end{bmatrix}即：
A * B3. 矩阵乘法（Matrix Product）
矩阵乘法遵循行列相乘的规则，矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。
A B = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
\end{bmatrix}即：
A @ B或
numpy.dot(A, B)注意
AB \neq BA
4. Kronecker 积（Tensor Product）
Kronecker 积将矩阵 A 和 B 扩展为更大的矩阵，每个元素乘以整个矩阵 B。
\begin{align}
A \otimes B &=
\begin{bmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\
a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B
\end{bmatrix} \notag \\
&=
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & \cdots & a_{1n}b_{1q} \\
a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & \cdots & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} & \cdots & a_{1n}b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}b_{p1} & a_{m1}b_{p2} & \cdots & a_{m2}b_{p1} & a_{m2}b_{p2} & \cdots & a_{mn}b_{pq}
\end{bmatrix}
\end{align}即：
numpy.kron(A, B)二、特殊矩阵
1. 单位矩阵（Identity Matrix）
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}即：
numpy.eye(n)2. 逆矩阵（Inverse Matrix）
A^{-1} A = AA^{-1} = I即：
numpy.linalg.inv(a)3. 转置矩阵（Transpose Matrix）
A^T =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}即：
A.T注意
(XY)^T = Y^T X^T
4. 正交矩阵（Orthogonal Matrix）
Q^T Q = QQ^T = I
5. 共轭矩阵（Complex Conjugate）
A^* = \overline{A} = [\overline{a_{ij}}]即：
numpy.conj(A)6. 厄米矩阵（Hermitian Matrix）
H = H^\dagger = (H^*)^T = (H^T)^*
7. 酉矩阵（Unitary Matrix）
U^\dagger U = I
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