Bra–Ket 记号与多量子比特状态

在量子力学中，我们用 Dirac 记号（Dirac notation，也称 Bra–Ket 记号）来表示向量与线性运算，用以简化复数向量及其线性代数运算。

一、Ket：量子态的列向量表示

一个量子比特（qubit）可以用符号 Ket 代表为一个列向量，即一个量子态（state vector）：

\ket{\psi} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}

a 和 b 分别表示系统处于状态 0 和状态 1 的概率幅（probability amplitude）

由于量子力学中的测量结果为概率，因为概率为振幅的平方模，因此有：

P(0) = |a|^2, \quad P(1) = |b|^2

由于量子计算机仅存在两种状态，因此两者概率之和必为 1，即满足量子态归一化（normalization）：

P(0) + P(1) = |a|^2 + |b|^2 = 1

因此，量子计算机中最基本的两个状态有：

\ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

基于上述两个计算基底（computational basis states），可表示量子比特状态空间的任意量子坐标：

\ket{\psi} = a \ket{0} + b \ket{1}

根据量子态归一化要求有：

a, b \in \mathbb{C}, \quad |a|^2 + |b|^2 = 1

与 Ket 对应的是 Bra，其定义为对应列向量（Ket）的厄米共轭，即行向量：

\bra{\psi} = \ket{\psi}^\dagger = \begin{bmatrix} a^* & b^* \end{bmatrix}

因此，对于Bra-Ket，表示 Bra 行向量和 Ket 的内积：

\braket{A|B} = A^\dagger B

内积表示两个量子态间的重叠程度（overlap）：

易算：

\braket{0|1} = 0, \quad \braket{0|0} = \braket{1|1} = 1

表明计算基底是正交归一基底（orthonormal basis）。

外积代表一个线性算符（也就是矩阵），它能把一个态变换为另一个态，对于任意状态 A 均有：

\ket{A} \bra{A} \ket{\psi} = \braket{A|\psi} \bra{A}

因此可以计算其在状态 A 方向的分量，因此称为投影算符（projector）。

用张量积（tensor product）可组合多量子比特：

\ket{00} = \ket{0} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

同理有：

\ket{01} = \ket{0} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\\ \ket{10} = \ket{1} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\\ \ket{11} = \ket{1} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

这四个态构成了双量子比特系统的计算基底，且易证其满足：

\braket{i|j} = \begin{cases} 0, & i \neq j, \\ 1, & i = j, \end{cases}

即，两两正交，且归一化。