基础量子门简介 – Felix's Quantum Flask

在量子计算中，量子门（Quantum Gate）是对量子比特（qubit）状态进行变换的基本操作，相当于经典计算机中的逻辑门。量子门通常用矩阵表示，对应着对量子态向量的线性变换。

I 门（单位门）

I=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}

它不改变量子态，什么也不做：

I\ket{\phi}=\ket{\phi}

Pauli-X 门类似于经典计算机的 NOT 门，用于翻转量子比特的状态：

\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

作用效果：

\begin{align*} X \ket{0} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \ket{1} \\ X \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \ket{0} \end{align*}

即，将 0 和 1 的状态进行翻转。

Pauli-Y 门引入了复数因子 i，它在翻转状态的同时也添加了相位变化：

\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}

作用效果：

\begin{align*} Y \ket{0} &= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} =& \begin{bmatrix} 0 \\ i \end{bmatrix} &=& i \ket{1} \\ Y \ket{1} &= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} =& \begin{bmatrix} -i \\ 0 \end{bmatrix} &=& -i \ket{0} \end{align*}

即，Y 门不仅会翻转量子比特，还会引入 ±i 的相位，影响量子态的干涉特性。

Pauli-Z 门只引入相位变化，不翻转量子比特状态：

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

作用效果：

\begin{align*} Z \ket{0} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} =& \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} &=& \ket{0} \\ Z \ket{1} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} =& \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} &=& - \ket{1} \end{align*}

Z 门会改变 1 的相位，但不改变测量结果的概率。

即：

Y = i X Z

Hadamard 门是量子计算中非常重要的单比特门。它可以将经典状态转换为叠加态，使量子计算能够利用叠加与干涉特性：

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

作用效果：

\begin{aligned} H \ket{0} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{0} + \ket{1} \right)\\ H \ket{1} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{0} - \ket{1} \right) \end{aligned}

这里，我们定义：

\ket{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{0} + \ket{1} \right), \quad \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{0} - \ket{1} \right)

因此有：

H \ket{0} = \ket{+}, \quad H \ket{1} = \ket{-}

易得：

H \ket{+} = \ket{0}, \quad H \ket{-} = \ket{1}

CNOT 门（Controlled NOT）是一个二比特门，它的作用是：如果控制比特（前一位）为 1，则翻转目标比特（后一位）；否则保持不变。

\text{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

作用效果：

\begin{align*} \text{CNOT} \ket{00} = \ket{00} \\ \text{CNOT} \ket{01} = \ket{01} \\ \text{CNOT} \ket{10} = \ket{11} \\ \text{CNOT} \ket{11} = \ket{10} \end{align*}

由于 CNOT 门可以基于控制比特的状态对目标比特进行条件翻转，因此是生成量子纠缠的重要工具。例如，配合 Hadamard 门，CNOT 门能够生成 Bell 态，这是最简单的量子纠缠态之一：

\text{CNOT}\left( (H \otimes I) \ket{00} \right) = \text{CNOT}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{00} + \ket{10}) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11})

易知，Bell 态为一种最大纠缠态：

\ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11})

除此之外，还有三个 Bell 态：

\ket{\Phi^-}=I \otimes Z\ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{11})

以及：

\begin{align*}\ket{\Psi^+}=I \otimes X\ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{01} + \ket{10} \right)\\\ket{\Psi^-}=I \otimes X\ket{\Phi^-}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{01} - \ket{10} \right)\end{align*}

事实上，CNOT 门是经典逻辑电路中 XOR 门（⊕）的“量子形式”：目标比特 t 会基于控制比特 c 实现对应翻转：

\ket{c}\ket{t}\to\ket{c}\ket{t \oplus c}